In questo post andremo ad analizzare tutti i parametri che regolano l’analisi pushover effettuata con PRO_SAM, plugin di PRO_SAP che si collega al motore di calcolo SAM II sviluppato dal Professor Magenes e dagli Ingg. Manzini e Morandi. Particolare attenzione sarà data a come questi influiscono su risultati e tempi di analisi, con lo scopo di trasmettere al lettore maggiore consapevolezza quando si trova a che fare con questa tipologia di analisi.
Come funziona l’analisi pushover
L’analisi pushover è una analisi statica non lineare che ha lo scopo di studiare il comportamento della struttura una volta superato il punto di snervamento, valutando il fenomeno di danneggiamento e ridistribuzione degli sforzi all’aumentare della spinta.
Lo scopo è quindi di cogliere il punto massimo oltre al quale si crea un meccanismo labile della struttura. Affinchè l’edificio si presti bene a questo tipo di analisi, è necessario che il suo modo dominante non sia di tipo torsionale.
Per ulteriori approfondimenti si fa riferimento alle NTC18 7.3.4.2
L’analisi è svolta per incrementi di carico successivi: a ciascun incremento di carico il solutore ricerca per iterazioni successive la soluzione del problema, in termini di moltiplicatore delle forze orizzontali e di valore di spostamento di un preciso nodo di controllo genericamente coincidente con il baricentro dell’impalcato di ultimo piano. A questi verrà corrisposta una distribuzione di sollecitazione sugli elementi strutturali che tiene conto degli effetti non-lineari del materiale, andando a generare cerniere plastiche che variano lo schema statico della struttura man mano che nelle sezioni si raggiunge il valore del momento plasticizzante.
Indicando pertanto con lo scalare α il moltiplicatore del vettore dei carichi orizzontali fo (il carico verticale fv è mantenuto costante durante tutta l’analisi), il vettore f0,n si definisce, per ogni generico n-mo passo di carico, come f0,n = αn × f0 , essendo fo il vettore dei carichi orizzontali di riferimento corrispondente ad α= 1.
Il codice di calcolo SAM II effettua l’analisi statica non lineare utilizzando come criterio risolutivo il metodo di Newton-Raphson (NR) con strategia Arc-Length (AL). In questo modo l’analisi è svolta automaticamente in controllo misto di forze e spostamenti, ovviando ai problemi noti in letteratura che caratterizzano il metodo di Newton-Raphson in controllo di forza (impossibilità di descrivere il tratto di softening della curva di capacità).
Una schematizzazione del procedimento risolutivo iterativo effettuato dal software è riportato nella seguente immagine:
Indicando con u il vettore degli spostamenti incogniti del problema e con P(u) il vettore delle azioni interne della struttura, ed identificando inoltre il passo di carico mediante pedice e le iterazioni mediante apice, il procedimento risolutivo può essere così descritto:
- A partire dalla configurazione del sistema trovata al termine del passo di carico n-1, il solutore effettua una prima iterazione del passo di carico corrente n, aumentando il moltiplicatore α di un incremento Δα : αn1 = αn-1 + Δα ;
- Tramite NR viene calcolato dal solutore il corrispondente incremento di spostamento incognito dunj mediante linearizzazione del problema;
- Viene effettuato dal solutore un controllo di convergenza, in base a uno dei criteri implementati nell’ordine in cui sono proposti: nel caso in cui il criterio sia soddisfatto o nel caso in cui sia superato un numero massimo Nit,max prefissato di iterazioni senza che tale criterio sia soddisfatto, si ritiene individuato il passo di carico corrente ed il solutore procede al passo di carico successivo, tornando al punto 1. In caso contrario si procede al punto 4 successivo.
- La strategia AL calcola il successivo incremento di carico αnj imponendo il vincolo dell’arco di cerchio, a raggio costante per ogni passo di carico. Per garantire il rispetto di tale vincolo l’AL non modifica solo il moltiplicatore dei carichi orizzontali, ma anche gli incrementi degli spostamenti generalizzati (associati ai gdl del sistema) calcolati precedentemente con NR;
- Si torna al precedente punto 2.
Quando il programma non è in grado di trovare una soluzione che soddisfi il criterio di convergenza adottato all’ultima iterazione, passa all’incremento di carico successivo partendo dalla migliore configurazione trovata durante le Nit,max iterazioni precedenti scelta sulla base della minore differenza tra il vettore delle forze esterne applicate (sia orizzontali che verticali) αni·f0+fv e le azioni interne della struttura P(uni), per cui quindi risulti:
Il programma interrompe l’analisi al verificarsi di due condizioni:
- Raggiungimento della condizione di collasso allo stato limite ultimo, definito come la condizione corrispondente, oltre il punto massimo di forza, ad una riduzione della forza pari al 20% [NTC18 C7.8.1.5.4] della forza massima;
- Raggiungimento di un numero massimo prefissato di punti di carico senza che la condizione precedente sia verificata: ciò, ai fini della verifica allo stato limite ultimo, comporta che l’analisi effettuata non può essere considerata completata, nel senso che la curva di capacità trovata risulta solo parziale.
Come si può evincere dai precedenti paragrafi l’analisi statica non lineare è molto influenzata dai parametri in uso, che possono essere modificati per modificarne a sua volta anche il procedimento. Vediamo in seguito come.
Leggere le curve di capacità
A causa della complessità delle analisi è molto importante saper leggere e interpretare le curve di capacità che si ottengono dalle analisi, e non prendere automaticamente per buono il primo risultato che si ottiene (come anche per tutte le altre tipologie di analisi).
È possibile che in alcuni step di carico le analisi non giungano a convergenza restituendo come risultato una curva di capacità che non rappresenta il corretto comportamento della struttura ed è possibile rendersi conto quando questo accade semplicemente indagando con occhio critico tutte le curve ottenute per le varie CMB di analisi. Difatti, per quanto le curve possano differire tra di loro in termini di tagliante e spostamento massimo, a parità di direzione ci si deve aspettare comportamenti coerenti.
Si riporta di seguito un esempio di calcolo su una struttura in muratura modellata con PRO_SAM.
Nell’immagine sopra riportata notiamo come per una sola combinazione si ottengono valori ampiamente inferiori a 1 di rapporti Capacità/Domanda, a differenza di quanto accade per tutte le altre CMB. Andando ad indagare la curva di capacità relativa alla CMB in questione (immagine sotto) troviamo che questa rappresenta un comportamento fragile della struttura dovuto alla mancanza di convergenza della soluzione. Questo risultato non può essere rappresentativo della realtà (la struttura è più volte iperstatica) ed è in contraddizione con le curve ottenute per le restanti CMB.
Quali parametri modificare
Tale errore è dato dalla presenza di una coppia Forza/Spostamento che non ha permesso alle analisi di convergere. Per far procedere le analisi cercheremo quindi di fare in modo che le non passino per il medesimo punto, andando a intervenire sui parametri dell’analisi del Pannello di controllo generale PRO_SAM.
Vediamo di seguito tutti i parametri presenti e quali di questi conviene modificare per migliorare il risultato delle analisi.
Escludi non linearità: Esegue il calcolo di uno step con Sd(T1) disattivando tutti i comportamenti lineari. Tale funzione può essere utilizzata come primo controllo (dati i tempi di analisi molto brevi) prima di andare ad eseguire le analisi considerando le non linearità.
Direzione principale: valore della direzione principale relativa all’asse X per la applicazione delle spinte. Tipicamente pari a 0, è opportuno modificarlo qualora l’edificio venga modellato con la direzione principale inclinata rispetto l’asse X globale.
Massimo numero passi: il numero massimo di passi concessi per le analisi. Impostato a 10000 di default per permettere l’esecuzione completa delle analisi può essere ridotto per interrompere le analisi ad un determinato passo.
Intervallo output: numero di passi ogni quali il software restituisce i risultati. Tipicamente pari a 1 per la restituzione di ogni punto, può essere aumentato per ridurre i tempi di Input-Output e ottenere una curva di capacità meno discretizzata. I punti di interesse per le verifiche saranno ugualmente riportati.
Piano infinitamente rigido: considera i solai come infinitamente rigidi, andando a ridurre di molto i gradi di libertà del sistema e facilitando le analisi. Affinchè ciò accada i solai devono essere già dotati di piano rigido. Con spunta disattivata il software assegna ad ogni solaio lo spessore membranale definito nelle proprietà, qualora questo sia dotato di piano rigido.
Residuo forze: valore di forza residua in relazione al tagliante massimo sotto la quale l’analisi si interrompe e la curva di capacità può considerarsi completa. Il valore di default 0.8 è specifico per strutture in muratura [NTC18 C7.8.1.5.4], per strutture in CA e acciaio è pari a 0.85 [NTC18 C7.3.4.2]
Fattore forze: fattore per il calcolo del punto di passaggio forzato per il sistema bilinearizzato a un grado di libertà. Il valore di default 0.7 è specifico per strutture in muratura [NTC18 C7.8.1.6] mentre per strutture in CA e acciaio è pari a 0.6 [NTC18 C7.3.4.2].
Incremento forze: fattore di incremento delle forze ad ogni step di carico. Tipicamente pari a 0.02, è consigliabile un valore sempre compreso tra 0.01 e 0.05.
Metodo gamma: metodo per il calcolo dei fattori di partecipazione Γ. Il metodo Modale è quello adottato dalle NTC18 e risulta essere il più efficace per strutture regolari con modi di vibrare non localizzati.
Numero iterazioni: Numero massimo di iterazioni ammesse per la convergenza per ogni step di carico. Tipicamente pari a 10, quando aumentato favorisce la convergenza dei criteri a discapito dei tempi di analisi.
Tolleranza energia/forze/spostamenti: valore di tolleranza utilizzato per i criteri di convergenza, che vengono eseguiti a cascata nell’ordine in cui sono proposti. Viene proposto di default un valore molto piccolo pari a 0.0001 per le energie e 0.001 per forze e spostamenti. Maggiore il valore, più facilmente i criteri saranno soddisfatti. Se il valore di una tolleranza viene posto pari a 0 il corrispondente criterio di convergenza verrà escluso dalle analisi, tuttavia si consiglia di utilizzarli sempre tutti e 3.
Fattore Jt per rigidi: fattore riduttivo applicato alla rigidezza torsionale per gli elementi rigidi, che si applica soprattutto alle analisi lineari preventive al calcolo delle curve.
Privilegia offset: In fase di generazione del modello privilegia l’utilizzo di elementi offset a discapito degli elementi rigidi (sconsigliato).
Imposta dati RIGI: consente di personalizzare le proprietà effettive degli elementi rigidi anziché i valori preimpostati dagli sviluppatori.
Mostra esecuzione analisi: permette la visualizzazione delle finestre del SAMII durante il calcolo.
Il parametro principale su cui andare a intervenire è l’Incremento Forze, che permetterà al SAMII di cambiare i punti di calcolo evitando la coppia Forza/Spostamento che bloccava le analisi.
Nell’esempio riportato è sufficiente variare il suddetto valore da 0.02 a 0.03 per correggere la curva:
Qualora questo non fosse sufficiente è possibile andare a intervenire su altri parametri, come il numero di iterazioni, che se aumentato incrementa sia l’efficienza delle analisi che l’onere computazionale, o le tolleranze forze e spostamenti, che se aumentate riducono sia i tempi di analisi che l’affidabilità dei risultati.
In aggiunta a quanto detto, per avere un maggiore controllo delle analisi è consigliabile disattivare l’opzione “Adotta calcolo parallelo” nel contesto “Assegnazione carichi > Modifica > Comandi avanzati”. Così facendo il solutore anziché effettuare il calcolo di tutte le combinazioni contemporaneamente le eseguirà in serie, impegnando meno CPU.
Al calcolo in serie può essere affiancata la spunta attiva sull’opzione “mostra esecuzione analisi” dal “pannello di controllo generale PRO_SAM” che renderà più facile realizzare in tempo reale se una combinazione presenta problemi e/o blocca l’analisi a seconda dei tempi impiegati quando questi risultano troppo brevi o troppo prolungati.
Ing. Antonio Limena